Gondolák

Utálom a teljes indukciót – az egyik legnagyobb baromságnak tartom a matematikai bizonyítások között (a másik az indirekt feltevés módszere, de azt most hagyjuk).

Mi is a metódus lényege? Baromi egyszerű: természetes folyamatok egymásra következésére épít. Természetes számokat használ, plusz néha a 0-t, ez nem mindig eldöntetett.

Nézzünk egy nagyon alap feladatot, csak hogy érzékeltessem a dolgot. Azt mondom, hogy 2^(n)≤3^(n), és hogy ez teljesül minden n természetes számra.

 Hogyan látjuk ezt be?

Először is próbálgatunk. Megnézzük n=1,2,3… -ra. Jelen esetben az alábbi eredmények jönnek ki: 2≤3, 4≤9, valamint 8≤27 (n=0 ra persze 1≤1 az eredmény, mely szintén helyes).

Úgy tűnik, hogy sejtésünk helyes, és ez igaz lesz minden n-re. Ezért fel is tesszük, hogy n-re teljesül a feltevés. Innen kell belátnunk n+1-re. Mit teszünk? Egyszerűen beírunk n+1-et mindenhova, ahol n-et látunk, azaz: 2^(n+1)≤3^(n+1).

 A lényeg, hogy azonosságra jussunk.

Nos, könnyen észrevehető, hogy 2^(n+1) nem más, mint, 2·2^(n), ugyanígy 3^(n+1)=3·3^(n). Tehát az egyenlőtlenségünk 2·2^(n)≤3·3^{^(n)} alakra írható át. Ezután 3-mal leosztva a ⅔·2^(n)≤3^(n)egyenlőtlenséget kapjuk, amivel be is láttuk a kívánt sejtést.

Miért is?

Egyszerű: hiszen a feltevésünk szerint 2^(n)≤3^(n) minden n-re teljesül, így ha a baloldalt beszorozzuk egy 1-nél kisebb számmal, akkor az egyenlőtlenség továbbra is fennáll, és a relációs jel sem fordul meg (hiszen pozitív számmal szoroztunk). Tehát az eredeti feltevés minden n-re teljesül. ■

(Ez valóban egy teljesen alap feladat volt, és csakis az volt a célja, hogy megmutassam vele a módszer kvintesszenciáját. Természetesen ennél jóval bonyolultabb feladatok is léteznek, például oszthatósági feladatok, amiket például középiskolásoknak szoktak feladni, vagy még komplikáltabb analízisbeli kérdések, amikre szintén egy használható bizonyítási módszer a teljes indukció.)

Nos, ez a látszólag alapvető metódus számomra egy totál humbugnak látszik.

Ugyanis: tegyük fel, hogy a suliban kiadnak egy hét szünetet, mondjuk hétfőtől péntekig. Vagyis ha én elkezdem vizsgálgatni a hetet, akkor megnézem a naptárt, és azt mondom: kedden szünet van, szerdán szünet van, csütörtökön is szünet van… hát akkor az év minden napján szünet van, nem?

Na jó, de ezt hogy a francba bizonyítom be?

Mi van akkor, ha én mondjuk karácsonyi szünet alkalmával több nap egymás után is benézek a suliba, és látom, hogy zárva van, felteszem, hogy egy életre bezárt, de azért mégis lecsekkolom egy későbbi, tök RANDOM (:P) időpontban, mondjuk húsvétkor, és azt látom, hogy jé, még mindig zárva.

Akkor ezek szerint mindig is zárva volt?

Nyilván nem, de a teljes indukció azt feltételezné számomra, hogy valóban: a suli karácsony óta nem nyitott ki. Hiszen a teljes indukcióban éppen az a lényeg, hogy akármelyik tetszőleges n-re is nézem meg a feladatot, arra teljesülnie kell.

Eszerint kimondom, hogy ha kedden, szerdán, és csütörtökön szünnap volt, akkor az év minden egyes napján az van. A teljes indukció szerint legalábbis ez áll fenn. Azonban ez a csodás fantazmagória érezhetően gyenge talpakon áll, vagy szimplán: hülyeség. Hiszen ilyen a mesékben sincs, hogy minden egyes nap szünnap legyen. A teljes indukció ezek szerint sántít valahol, hiszen a valóságban nem működik, nem alkalmazható.

 Azonban erről szó nincs.

 Hiszen LÁTOM, hogy működik, számtalanszor HASZNÁLTAM is már, és elmondhatom, hogy felfogom a lényegét, hogy nem hülyeség, nem hasztalan, nem ellentmondásos, hanem teljesen természetes, sokszor használt, működő módszer.

Engem azonban ez nem hagy nyugodni, ugyanis, bár nem a valóságba vetett hitemet ingatja meg, nyilván, de egy nagyon fontos kérdéskörbe férkőzte be magát, ami, bár furcsa párhuzamnak tűnhet, viszont talán annyira mégsem teljesen abszurd.

 A párválasztásról van szó.

Nos, a teljes indukciónak ehhez ugyan mégis mi köze van, tehetnénk fel a kérdést. Nagyon egyszerű: hiszen lényegében (bár kissé nyersen fogalmazva) ugyanarról a jelenségről van szó. Van egy párkapcsolatom, vége szakad, lesz egy másik, annak is vége szakad s.í.t., majd egyszer csak megállapodok. Megtalálom a Nagy Őt, és véget ér a keresés.

Vagy legalábbis így gondolom, de biztos, hogy ez így van?

Gondoljunk csak bele: valakivel nem működik a dolog, találunk mást, azzal se működik, a harmadikkal is véget ér, ezek alapján rögtön feltehetnénk, hogy ok, ezek szerint senkivel sem fog.

Vagyis a teljes indukció szerint tehát nem létezhet ilyen, hogy „Nagy Ő”.

De akkor mégis mi teheti Őt valóságossá? Hiszen mégis látni egymást eljegyző, majd házasodó párokat, vagy gyermeke(ke)t vállaló embereket, akik ezzel egy életre egymáshoz kötik magukat, és róluk mind úgy tűnik, hogy számukra már megvan a „Nagy Ő” (na, hogy ez később mennyire válik be, azt hagyjuk – itt az alapgondolat megléte a lényegi szempont).

 Mitől lesz ez a kép valóságos? Hát persze egyértelmű: attól a bizonyos ’ismeretlen’ tényezőtől, mely megbolygatja egész életünket, és pusztító vaskarmaival belénk kapaszkodva követ végig totyogó csecsemő korunktól a halálos ágyunkig: a kiba**ott IDŐ.

 Nyilvánvaló, hogy egyszer mindenkinek elérkezik az életében az a kor, amikor már nem sok választási lehetősége marad, minthogy ’igent’ mondjon arra a személyre, aki az őt megelőzőknél jobb, és kijelentse: megtaláltam a Nagy Őt (hogy ez „pontosan” milyen korban következik be, arra van egy NAGYON SZÉP matematikai levezetés, de arra itt most kevésnek találom a helyet).

Na persze nyílván azt is mondhatnánk, hogy minden ember különböző, és a sikertelen párkapcsolatoknak pont az a lényegük, hogy általuk jobbá válunk, és ugyanazokat a banális hibákat nem követjük el újból, etc.etc., de számomra ez továbbra sem túl meggyőző, ugyanis:

mi lenne, ha végtelen idő állna rendelkezésünkre? Akármennyi ideig válogathatnánk, és mindig lehetne valaki jobbat találni, mint az azt megelőző?

 Ez katasztrófához vezetne.

Hiába örök élet, ha egyszerűen megállna az egész reprodukciós folyamat, mert mindenki csak tökölne, és válogatna élete végéig, és mindig azt gondolná, hogy „majd találok jobban, mint a korábbi”. A „túl késő már válogatni” kifejezés nyilván értelmét veszítené, és talán az egész emberiség egy másfajta fejlődés irányába menne, azonban mi nem egy ilyen világban élünk.

Mivel mindannyian tudjuk, hogy előbb-utóbb elérkezik egy bizonyos kor, amikor már érezzük, hogy a megállapodás a legkézenfekvőbb megoldás, ezért egyszer csak magállunk, és elfogadjuk, hogy akink van, az a lehető legjobb, legideálisabb személy, és lehorgonyzunk mellette.

Máskülönben meg miért ne tennénk, hiszen egy ember sem képes sokáig elviselni a magány érzését (kivéve persze azokat, akik magával a fogalommal se nagyon vannak tisztában), és hát ugyan ki az, aki úgy gondolja, hogy a személy, aki a leginkább illik hozzá, az épp a Föld másik felén lakozik, nem pedig a szomszéd házban.

 Hiszen egy ekkora világban mégis hogyan lehetne minden egyes embert megismerni, és eldönteni, hogy ki a lehető legideálisabb számunkra?

 Nem véletlenül nem tudunk kvantum-teleportálni, és nem érthetünk minden nyelven – nem kell mindenkit megismernünk ahhoz, hogy megtaláljuk a legmegfelelőbbet.

 Vagyis, más szóval: nem kell minden „n”-re külön-külön belátnunk az egyenletet, elég, ha kihozunk egy azonosságot.

 Így ha tetszik, ha nem, a Nagy Ő az idő múlásának eredményeként születik meg. Hülye egy gondolat, ám csakúgy, mint a teljes indukció esetében, mégis működik a dolog – attól teljesen függetlenül, hogy azt mi megértjük-e, támogatjuk-e, elfogadjuk-e, illetve szeretjük-e, vagy sem.

 És pont ettől ilyen furcsán csodálatos ez a világ - és az Élet maga.

 Michael Kay